Контрольные задания
Вопрос:

Билет №4. 1. Окружность. Элементы окружности. 2. Параллелограмм. Признаки параллелограмма (доказательство одного из них). 3. Задача.

Фото задания: Билет №4. 1. Окружность. Элементы окружности. 2. Параллелограмм. Признаки параллелограмма (доказательство одного из них).…Фото задания

Ответ:

Билет №4

  1. Окружность. Элементы окружности

    Окружность — это множество точек плоскости, равноудалённых от данной точки (центра окружности).

    Элементы окружности:

    • Центр: точка, равноудалённая от всех точек окружности. Обозначается буквой (O).

    • Радиус: отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой на окружности. Все радиусы равны. Обозначается \( r \).
    • Диаметр: отрезок, соединяющий две точки на окружности и проходящий через центр. Диаметр равен двум радиусам (\( d = 2r \)).
    • Хорда: отрезок, соединяющий любые две точки на окружности. Диаметр — это самая длинная хорда.
    • Касательная: прямая, имеющая с окружностью ровно одну общую точку.
  2. Параллелограмм. Признаки параллелограмма

    Признаки параллелограмма — это условия, при выполнении которых четырёхугольник является параллелограммом.

    1. Если у четырёхугольника противоположные стороны попарно равны, то этот четырёхугольник — параллелограмм.
    2. Если у четырёхугольника противоположные углы попарно равны, то этот четырёхугольник — параллелограмм.
    3. Если диагонали четырёхугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник — параллелограмм.

    Доказательство признака 1 (Если у четырёхугольника противоположные стороны попарно равны, то он — параллелограмм):

    Дан четырёхугольник ABCD, у которого AB = CD и BC = DA. Проведём диагональ AC. Рассмотрим треугольники ABC и CDA. У них: AB = CD (по условию); BC = DA (по условию); AC — общая сторона. По трём сторонам (третий признак равенства треугольников), \( \triangle ABC = \triangle CDA \). Следовательно, \( \angle BAC = \angle DCA \) и \( \angle BCA = \angle DAC \).

    Так как \( \angle BAC = \angle DCA \) — это накрест лежащие углы при прямых AB и CD и секущей AC, то AB || CD.

    Так как \( \angle BCA = \angle DAC \) — это накрест лежащие углы при прямых BC и DA и секущей AC, то BC || DA.

    Так как у четырёхугольника ABCD противоположные стороны попарно параллельны, то ABCD — параллелограмм.

  3. Задача