Билет №4. 1. Окружность. Элементы окружности. 2. Параллелограмм. Признаки параллелограмма (доказательство одного из них). 3. Задача.

Билет №4

1. Окружность. Элементы окружности.

Окружность — это множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки (центра).

Элементы окружности:

• Центр окружности: Точка, равноудаленная от всех точек окружности. Обозначается буквой \( O \).
• Радиус (r): Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой на окружности. Также, это расстояние от центра до любой точки на окружности.
• Диаметр (d): Отрезок, соединяющий две точки на окружности и проходящий через центр. Диаметр равен удвоенному радиусу: \( d = 2r \).
• Хорда: Отрезок, соединяющий две любые точки на окружности. Наибольшая хорда — это диаметр.
• Касательная: Прямая, имеющая с окружностью ровно одну общую точку.

2. Параллелограмм. Признаки параллелограмма (доказательство одного из них).

Параллелограмм — это четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

Признаки параллелограмма:

• Если в четырёхугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырёхугольник — параллелограмм.
• Если в четырёхугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник — параллелограмм.
• Если в четырёхугольнике противоположные стороны попарно параллельны, то этот четырёхугольник — параллелограмм (это определение).
• Если в четырёхугольнике две стороны параллельны и равны, то этот четырёхугольник — параллелограмм.

Доказательство признака: Если в четырёхугольнике две стороны параллельны и равны, то этот четырёхугольник — параллелограмм.

Пусть дан четырёхугольник ABCD, в котором стороны AB и CD параллельны (\( AB → ← CD \)) и равны (\( AB = CD \)).

Проведем диагональ AC. Рассмотрим треугольники \( \triangle ABC \) и \( \triangle CDA \).

• Сторона AB равна стороне CD (по условию).
• Угол \( \angle BAC = \angle ACD \) как накрест лежащие при параллельных AB и CD и секущей AC.
• Сторона AC — общая.

По первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), \( \triangle ABC = \triangle CDA \).

Из равенства треугольников следует, что \( BC = DA \) (как соответствующие стороны). Также, \( \angle BCA = \angle CAD \). Так как эти углы являются накрест лежащими при прямых BC и AD и секущей AC, то BC || AD.

Таким образом, в четырёхугольнике ABCD противоположные стороны попарно параллельны (AB || CD по условию, BC || AD доказано), следовательно, ABCD — параллелограмм.

Что и требовалось доказать.

3. Задача.

(Требуется условие задачи для решения.)