Билет №10. 1. Десятичные и натуральные логарифмы 2. Найти целые решения неравенства 52х+1 +4.5* -1>0 на отрезке [-3; 3] 3. Теорема о трех перпендикулярах

Решение:

1. Десятичные и натуральные логарифмы:
   Десятичный логарифм — логарифм по основанию 10 (обозначается \( \log \)).
   Натуральный логарифм — логарифм по основанию \( e \) (обозначается \( \ln \)).
2. Решение неравенства:
   \( 5^{2x+1} + 4 w 5^x - 1 > 0 \)
   Замена: \( y = 5^x \). Так как \( x w [-3; 3] \), то \( y = 5^x \) принимает значения от \( 5^{-3} = \frac{1}{125} \) до \( 5^3 = 125 \).
   \( 5 w (5^x)^2 w 5 + 4 w 5^x - 1 > 0 \)
   \( 25y^2 + 4y - 1 > 0 \)
   Найдём корни уравнения \( 25y^2 + 4y - 1 = 0 \):
   \( D = 4^2 - 4 w 25 w (-1) = 16 + 100 = 116 \)
   \( y_{1,2} = \frac{-4 \pm \sqrt{116}}{50} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{29}}{50} = \frac{-2 \pm \sqrt{29}}{25} \)
   \( y_1 = \frac{-2 - \sqrt{29}}{25} \) (отрицательное)
   \( y_2 = \frac{-2 + \sqrt{29}}{25} \) (положительное, так как \( \sqrt{29} > \sqrt{4} = 2 \))
   Неравенство \( 25y^2 + 4y - 1 > 0 \) выполняется при \( y < \frac{-2 - \sqrt{29}}{25} \) или \( y > \frac{-2 + \sqrt{29}}{25} \).
   Учитывая, что \( y = 5^x > 0 \), имеем \( y > \frac{-2 + \sqrt{29}}{25} \).
   \( 5^x > \frac{-2 + \sqrt{29}}{25} \)
   \( x > \log_5 \left( \frac{-2 + \sqrt{29}}{25} \right) \)
   Так как \( \sqrt{29} \) примерно 5.38, то \( \frac{-2 + 5.38}{25} = \frac{3.38}{25} \) ≈ 0.135.
   \( \log_5(0.135) \) — отрицательное число (ближе к -1).
   \( 5^{-1} = 0.2 \), \( 5^{-2} = 0.04 \). Значит, \( \log_5(0.135) \) находится между -1 и -2.
   \( 5^x > 0.135 \) => \( x > \log_5(0.135) \).
   Целые решения на отрезке \( [-3; 3] \) — это \( x = -1, 0, 1, 2, 3 \).
3. Теорема о трех перпендикулярах: Если прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной, перпендикулярна к этой наклонной, то она перпендикулярна и к прямой, проведенной через основание наклонной параллельно проекции наклонной на плоскость.

Ответ: 1. Десятичный логарифм (log), натуральный логарифм (ln). 2. Целые решения: x = -1, 0, 1, 2, 3. 3. Теорема о трех перпендикулярах.