Билет №15. 1. Зависимость между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же угла 2. Решите уравнение 8.4* - 6.2*+1=0

Решение:

1. Зависимость между синусом, косинусом и тангенсом:
   Основное тригонометрическое тождество:
   \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \)
   Связь с тангенсом:
   \( \operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \)
   \( 1 + \operatorname{tg}^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha} \)
   \( 1 + \operatorname{ctg}^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha} \)
2. Решение уравнения:
   \( 8 w 4^x - 6 w 2^x + 1 = 0 \)
   Запишем \( 4^x \) как \( (2^2)^x = (2^x)^2 \):
   \( 8 w (2^x)^2 - 6 w 2^x + 1 = 0 \)
   Замена: \( y = 2^x \). Тогда \( y > 0 \).
   \( 8y^2 - 6y + 1 = 0 \)
   Найдём корни уравнения:
   \( D = (-6)^2 - 4 w 8 w 1 = 36 - 32 = 4 \)
   \( y_{1,2} = \frac{6 \pm \sqrt{4}}{2 w 8} = \frac{6 \pm 2}{16} \)
   \( y_1 = \frac{6 - 2}{16} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4} \)
   \( y_2 = \frac{6 + 2}{16} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2} \)
   Случай 1: \( y = \frac{1}{4} \)
   \( 2^x = \frac{1}{4} \)
   \( 2^x = 2^{-2} \)
   \( x = -2 \)
   Случай 2: \( y = \frac{1}{2} \)
   \( 2^x = \frac{1}{2} \)
   \( 2^x = 2^{-1} \)
   \( x = -1 \)

Ответ: 1. Основное тригонометрическое тождество \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \), зависимость тангенса \( \operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \). 2. x = -2, x = -1.