Билет 11. 1) С помощью циркуля и линейки постройте середину данного отрезка. 2) Доказательство теоремы о свойстве катета прямоугольного треугольника, лежащего против угла в 30°. 3) Луч OC делит угол AOB на два угла. Найдите угол COB, если угол AOB = 56°, а угол AOC = 27°. 4) В равностороннем треугольнике ABC проведены биссектрисы AD и BF, которые пересекаются в точке O. Найдите угол AOF.

1. Построение середины отрезка

1. Из концов отрезка AB проведём дуги одним и тем же радиусом, большим половины AB. Пусть дуги пересекутся в точках P и Q.
2. Проведём прямую PQ. Она пересекает AB в точке M.
3. Точки P и Q равноудалены от A и B, поэтому прямая PQ является серединным перпендикуляром к AB. Следовательно, M — середина AB.

2. Теорема. Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.

Доказательство. Пусть в прямоугольном треугольнике ABC угол C прямой, угол A равен 30°. Продолжим BC за точку C и отметим D так, чтобы CD = BC. Тогда AC — перпендикулярный серединный отрезка BD, поэтому AB = AD. Поскольку луч BD совпадает с лучом BC, угол ABD равен углу ABC, то есть 60°. В равнобедренном треугольнике ABD углы при основании равны, значит, угол ADB тоже 60°. Следовательно, треугольник ABD равносторонний: BD = AB. Но BD = BC + CD = 2BC. Значит, BC = AB/2, что и требовалось доказать.

3. Луч OC делит угол AOB на части AOC и COB, поэтому угол COB = 56° − 27° = 29°.

4. В равностороннем треугольнике угол между биссектрисами OA и OB равен 120°. Точки F, O и B лежат на одной прямой, причём O находится между F и B, поэтому лучи OF и OB противоположны. Следовательно, угол AOF = 180° − 120° = 60°.

Ответ: 1) M — середина AB; 2) катет, лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы; 3) 29°; 4) 60°.