Билет 14. 1) Определение и теорема о внешнем угле треугольника. 2) Доказательство теоремы о свойстве односторонних углов при пересечении двух параллельных прямых третьей. 3) Один из смежных углов на 40° больше другого. Найдите меньший из смежных углов. 4) На рисунке AO = OD, CO = OB. Найдите ∠ABO и сторону AB, если ∠OCD = 70°, CD = 12 см.

1. Внешний угол треугольника. Внешним углом треугольника называют угол, смежный с одним из его внутренних углов. Теорема: внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.

Доказательство. Пусть внешний угол при вершине C смежен с внутренним углом C. Тогда их сумма равна 180°. Сумма внутренних углов A, B и C также равна 180°. Вычитая из этих равенств угол C, получаем: внешний угол при C равен углу A + углу B.

2. Теорема. Если две параллельные прямые пересечены третьей, сумма односторонних углов равна 180°.

Доказательство. Один из односторонних углов равен соответствующему углу при второй параллельной прямой. Этот соответствующий угол и второй односторонний угол составляют смежную пару, сумма углов которой равна 180°. Следовательно, сумма двух односторонних углов равна 180°.

3. Пусть меньший угол равен x°. Тогда больший равен (x + 40)°. Так как углы смежные, x + x + 40 = 180, откуда 2x = 140 и x = 70.

4. Углы AOB и DOC — вертикальные, значит, они равны. По условию AO = OD и OB = OC, поэтому треугольники AOB и DOC равны по двум сторонам и углу между ними. Соответствующие углы ABO и DCO равны, а соответствующие стороны AB и DC равны. Поэтому ∠ABO = ∠OCD = 70°, AB = CD = 12 см.

Ответ: 3) 70°; 4) ∠ABO = 70°, AB = 12 см.