Билет 12. 1) Понятие перпендикуляра и наклонной к прямой. Расстояние от точки до прямой. 2) Доказательство теоремы о сумме углов треугольника. 3) В треугольнике KLF известны все стороны: KL = 46 см, LF = 57 см, KF = 62 см. Укажите наименьший угол треугольника. 4) В равнобедренном прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 42 см. Найдите длину высоты, опущенной из вершины прямого угла.

1. Перпендикуляр, наклонная и расстояние. Перпендикуляром, проведённым из точки к прямой, называют отрезок, соединяющий эту точку с прямой и перпендикулярный ей. Отрезок, соединяющий точку вне прямой с точкой прямой, но не являющийся перпендикуляром, называют наклонной. Расстояние от точки до прямой — длина перпендикуляра, опущенного из точки на прямую; этот отрезок короче любой наклонной, проведённой из той же точки.

2. Теорема. Сумма углов треугольника равна 180°.

Доказательство. Проведём через вершину A прямую, параллельную стороне BC. Углы, образованные этой прямой со сторонами AB и AC, равны соответственно углам B и C как накрест лежащие. Эти два угла вместе с углом A образуют развёрнутый угол. Поэтому угол A + угол B + угол C = 180°.

3. Наименьший угол лежит против наименьшей стороны. Наименьшая сторона — KL = 46 см; она лежит против вершины F.

4. Пусть катеты равны a. По теореме Пифагора гипотенуза равна a√2, поэтому a = 42/√2 = 21√2 см. Площадь треугольника можно выразить двумя способами: S = a²/2 и S = 42h/2, где h — высота к гипотенузе. Тогда h = a²/42 = (21√2)²/42 = 21 см.

Ответ: 3) наименьший угол — ∠KFL; 4) 21 см.