Билет 3. 1) Определение медианы в треугольнике. Построение её в остроугольном, прямоугольном и тупоугольном треугольниках. 2) Третий признак равенства треугольников. Доказательство. 3) В треугольнике MNK ∠M = 50°, ∠N = 32°, ∠K = 98°. Укажите, какая из сторон данного треугольника будет наибольшей. 4) В треугольнике ABC AD — биссектриса, ∠C = 50°, ∠CAD = 30°. Найдите угол B.

1) Медиана треугольника

Медиана треугольника — отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Построение: для выбранной вершины циркулем и линейкой строим середину противоположной стороны, затем соединяем её с выбранной вершиной. Построение одинаково выполняется для остроугольного, прямоугольного и тупоугольного треугольника.

2) Третий признак равенства треугольников

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство. Совместим одну пару равных сторон и расположим треугольники по разные стороны от неё. Третья вершина каждого треугольника должна находиться на окружности с центром в одном конце общей стороны и радиусом, равным одной из соответствующих сторон, а также на окружности с центром в другом конце и радиусом, равным другой стороне. По равенству всех трёх сторон эти окружности для обоих треугольников одни и те же. Их точки пересечения по выбранную сторону от общей стороны совпадают. Значит, совпадают все вершины треугольников, и треугольники равны.

3) Наибольший угол — ∠K = 98°. Напротив наибольшего угла лежит наибольшая сторона, поэтому наибольшая сторона — MN.

4) AD — биссектриса, следовательно, ∠A = 2∠CAD = 2 · 30° = 60°. По сумме углов треугольника ∠B = 180° − 60° − 50° = 70°.

Ответ: 3) MN; 4) ∠B = 70°.