Билет 4. 1) Определение биссектрисы в треугольнике. Построение её в остроугольном, прямоугольном и тупоугольном треугольниках. 2) Теорема о свойстве высоты равнобедренного треугольника. Доказательство. 3) Сумма вертикальных углов, образованных при пересечении прямых AB и CD, равна 202°. Найдите каждый из них. 4) По данному чертежу найдите величину угла DOB.

1) Биссектриса треугольника

Биссектриса угла — луч, исходящий из вершины угла и делящий его на два равных угла. Биссектриса треугольника — отрезок биссектрисы его угла, соединяющий вершину с противоположной стороной.

Построение: из вершины дугой произвольного радиуса отмечаем точки на обеих сторонах угла; из этих точек одинаковым радиусом проводим дуги до пересечения; соединяем вершину угла с точкой пересечения дуг. Получаем биссектрису. Способ подходит для остроугольного, прямоугольного и тупоугольного треугольника.

2) Свойство высоты равнобедренного треугольника

Высота, проведённая к основанию равнобедренного треугольника, является также медианой и биссектрисой.

Доказательство. Пусть в равнобедренном треугольнике ABC равны боковые стороны AB и AC, а AD — высота к основанию BC. Рассмотрим прямоугольные треугольники ABD и ACD. У них равны гипотенузы AB и AC, а катет AD общий. Следовательно, треугольники равны по гипотенузе и катету. Поэтому BD = DC, то есть AD — медиана; также ∠BAD = ∠DAC, значит, AD — биссектриса.

3) Вертикальные углы равны. Если величина каждого равна x, то 2x = 202°, откуда x = 101°.

4) По рисунку верхняя и нижняя горизонтальные прямые параллельны: отмеченные при левой секущей углы 105° и 75° являются односторонними внешними и в сумме дают 180°. При правой секущей угол, соответствующий ∠DOB, равен отмеченному углу 80°. Следовательно, ∠DOB = 80°.

Ответ: 3) каждый вертикальный угол равен 101°; 4) ∠DOB = 80°.