Билет 3. 1) Определение медианы в треугольнике. Построение медиан в остроугольном, прямоугольном и тупоугольном треугольниках. 2) Третий признак равенства треугольников. Доказательство. 3) В треугольнике MNK ∠M = 50°, ∠N = 32°, ∠K = 98°. Укажите, какая из сторон данного треугольника будет наибольшей. 4) В треугольнике ABC AD — биссектриса, ∠C = 50°, ∠CAD = 30°. Найдите угол B.

1. Медиана треугольника

Медиана треугольника — отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Чтобы построить медиану, находят середину стороны и соединяют её с противоположной вершиной. В любом треугольнике все три медианы лежат внутри треугольника; это справедливо для остроугольного, прямоугольного и тупоугольного треугольников.

На схемах проведены все три медианы; одинаковые штрихи на сторонах отмечают их деление пополам.

2. Третий признак равенства треугольников

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство. Совместим одну пару равных сторон. По условию третьи вершины обоих треугольников находятся на одинаковом расстоянии от каждого из концов этой стороны. Такие вершины являются точками пересечения окружностей с равными радиусами и общими центрами, значит, они совпадают или расположены симметрично относительно общей стороны. В обоих случаях треугольники совмещаются и равны.

3. Наибольшая сторона лежит напротив наибольшего угла. Из данных углов наибольший — \(\angle K=98°\), напротив него лежит сторона MN.

4. AD — биссектриса, поэтому \(\angle CAD=\angle DAB=30°\), а \(\angle A=60°\). По сумме углов треугольника:

\(\angle B=180°-60°-50°=70°\).

Ответ: 3) наибольшая сторона — MN; 4) 70°.