Билет 4. 1) Определение биссектрисы в треугольнике. Построение биссектрис в остроугольном, прямоугольном и тупоугольном треугольниках. 2) Теорема о свойстве высоты равнобедренного треугольника. Доказательство. 3) Сумма вертикальных углов, образованных при пересечении прямых AB и CD, равна 202°. Найдите каждый из них. 4) По данному чертежу найдите величину угла DOB.

1. Биссектриса треугольника

Биссектриса угла треугольника — отрезок биссектрисы угла, соединяющий его вершину с противоположной стороной. Чтобы построить биссектрису, делят угол пополам и проводят луч из его вершины до пересечения с противоположной стороной. В остроугольном, прямоугольном и тупоугольном треугольниках все три биссектрисы проходят внутри треугольника.

На схемах проведены биссектрисы трёх углов; их общая точка — центр вписанной окружности.

2. Свойство высоты равнобедренного треугольника

Высота, проведённая из вершины равнобедренного треугольника к основанию, является также медианой и биссектрисой.

Доказательство. Пусть в равнобедренном треугольнике \(AB=AC\), а \(AD\) — высота к основанию BC. Треугольники ABD и ACD прямоугольные: \(\angle ADB=\angle ADC=90°\). У них равны гипотенузы \(AB=AC\) и катет \(AD\), общий для обоих треугольников. Значит, треугольники равны по гипотенузе и катету. Поэтому \(BD=DC\) и \(\angle BAD=\angle DAC\): высота является медианой и биссектрисой.

3. Вертикальные углы равны. Если каждый из двух углов равен \(x\), то \(2x=202°\), откуда \(x=101°\).

4. Рассмотрим четырёхугольник NBOP на чертеже. Его внутренний угол при N равен \(105°\) (вертикальный к отмеченному), при B — \(80°\) (вертикальный к отмеченному). Отмеченные при P \(75°\) и внутренний угол четырёхугольника смежные, поэтому угол P равен \(180°-75°=105°\). Сумма углов четырёхугольника равна \(360°\):

\(\angle DOB=360°-105°-80°-105°=70°\).

Ответ: 3) каждый угол равен 101°; 4) ∠DOB = 70°.