Билет №3 1. Линии в треугольнике (медиана, биссектриса, высота). 2. Доказать, что если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. 3. Задача на тему «Окружность». На окружности с центром О отмечены точки А и В так, что угол АОВ прямой. Отрезок ВС - диаметр окружности. Докажите, что хорды АВ и АС, равны.

Решение:

Задача на тему «Окружность».

Дано: Окружность с центром О. Точки А, В на окружности. \(\angle AOB = 90°\). ВС — диаметр.

Доказать: AB = AC.

Доказательство:

1. Так как \(\angle AOB = 90°\), то дуга АВ составляет \(90°\) от всей окружности.
2. Так как ВС — диаметр, то дуга ВАС является полуокружностью и равна \(180°\).
3. Угол АОВ является центральным, опирающимся на дугу АВ.
4. Угол АСВ является вписанным углом, опирающимся на диаметр ВС. Вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен \(90°\). Следовательно, \(\angle ACB = 90°\).
5. Рассмотрим \(\triangle ABC\). \(\angle BAC\) опирается на дугу ВС, которая равна \(180°\). Значит, \(\angle BAC = 180°/2 = 90°\).
6. \(\angle ABC\) опирается на дугу АС. \(\angle AOC = \angle AOB + \angle BOC\). Так как \(\angle AOB = 90°\) и \(\angle BOC = 180°\) (развернутый угол), то \(\angle AOC = 270°\). Это неверно.
7. Переформулируем. \(\angle AOB = 90°\) — центральный угол, опирается на дугу АВ.
8. \(\angle ACB\) — вписанный угол, опирающийся на ту же дугу АВ. Следовательно, \(\angle ACB = \frac{1}{2} \angle AOB = \frac{1}{2} \cdot 90° = 45°\).
9. Так как ВС — диаметр, то \(\angle BAC\) — вписанный угол, опирающийся на полуокружность, следовательно, \(\angle BAC = 90°\).
10. Рассмотрим \(\triangle ABC\). Сумма углов треугольника равна \(180°\). \(\angle ABC + \angle BCA + \angle BAC = 180°\). \(\angle ABC + 45° + 90° = 180°\). \(\angle ABC = 180° - 90° - 45° = 45°\).
11. Так как \(\angle ABC = \angle ACB = 45°\), то \(\triangle ABC\) — равнобедренный треугольник с основанием ВС.
12. Следовательно, стороны, противолежащие равным углам, равны: AB = AC.

Что и требовалось доказать.