Билет № 5. 1. Свойства площадей. 2. Теорема о средней линии треугольника (формулировка и доказательство). 3. Точка касания окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, делит одну из боковых сторон на отрезки, равные 3 см и 4 см. считая от основания. Найдите периметр треугольника

Билет № 5

1. Свойства площадей

• Площадь всей фигуры равна сумме площадей частей, на которые она разбита.
• Равные фигуры имеют равные площади.
• Площадь квадрата со стороной, равной единице измерения, равна единице измерения.

2. Теорема о средней линии треугольника

Формулировка: Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух его сторон, параллельна третьей стороне и равна половине этой стороны.

Доказательство:

Пусть дан треугольник ABC. Точки M и N — середины сторон AB и BC соответственно. MN — средняя линия.

1. Рассмотрим $$ \triangle ABC $$ и $$ \triangle MBN $$.
2. $$ \angle B $$ — общий для обоих треугольников.
3. $$ MB = \frac{1}{2} AB $$ и $$ NB = \frac{1}{2} BC $$ (по определению средней линии).
4. Следовательно, $$ \triangle MBN ∼ \triangle ABC $$ по двум сторонам и углу между ними (II признак подобия).
5. Из подобия следует, что $$ \frac{MN}{AC} = \frac{MB}{AB} = \frac{NB}{BC} = \frac{1}{2} $$.
6. Отсюда $$ MN = \frac{1}{2} AC $$.
7. Также из подобия следует, что $$ \angle BMN = \angle BAC $$. Эти углы являются соответственными при пересечении прямых MN и AC секущей AB. Так как эти углы равны, то MN || AC.

Теорема доказана.

3. Задача

Дано:

• Равнобедренный треугольник ABC (AC = BC).
• Окружность вписана в $$ \triangle ABC $$.
• Точка касания K на боковой стороне AC делит ее на отрезки AK = 4 см и KC = 3 см.

Найти: Периметр треугольника ABC.

Решение:

Пусть окружность касается сторон BC в точке L, а основания AB в точке D. Обозначим стороны треугольника: AC = BC = $$ b $$, AB = $$ c $$.

Из условия задачи, $$ AK = 4 $$ см и $$ KC = 3 $$ см. Следовательно, боковая сторона $$ b = AK + KC = 4 + 3 = 7 $$ см.

По свойству отрезков касательных, проведенных из одной точки к окружности, имеем:

• $$ KC = LC = 3 $$ см.
• $$ AK = AD = 4 $$ см.
• $$ BL = BD $$ (так как $$ \triangle ABC $$ равнобедренный, то AD = BL, но мы нашли AD, а BL равно LC).

Боковая сторона BC = BL + LC. Так как BC = 7 см и LC = 3 см, то BL = 7 - 3 = 4 см.

Следовательно, $$ BD = BL = 4 $$ см.

Основание AB = AD + DB = 4 см + 4 см = 8 см.

Периметр треугольника P = AB + BC + AC = $$ c + b + b = 8 + 7 + 7 = 22 $$ см.

Ответ: 22 см.