Билет 9. 1. Какая теорема называется обратной данной теореме? Приведите пример взаимно обратных теорем. 2. Сформулируйте теорему о сумме углов треугольника. Сформулируйте свойства прямоугольных треугольников. 3. У треугольников АВС и DEK: ∠A = ∠D=90°, AC=DK, AB-DE. Докажите ∠B = ∠E. 4. Найдите смежные углы, если один из них в два раза больше другого

Решение:

• 1. Обратная теорема получается из данной путем замены местами условия и заключения. Пример: Теорема: Если два угла треугольника равны, то противолежащие им стороны равны (равнобедренный треугольник). Обратная теорема: Если две стороны треугольника равны, то противолежащие им углы равны (равнобедренный треугольник).
• 2. Теорема о сумме углов треугольника: Сумма углов треугольника равна 180°. Свойства прямоугольных треугольников: 1. Сумма острых углов равна 90°. 2. Катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы. 3. Медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.
• 3. У треугольников ABC и DEK: AC = DK, AB = DE, ∠A = ∠D = 90°. По двум сторонам и углу между ними (признак равенства прямоугольных треугольников), треугольники ABC и DEK равны. Следовательно, их соответствующие углы равны, в том числе ∠B = ∠E.
• 4. Пусть один угол равен x, тогда второй равен 2x. Смежные углы в сумме дают 180°. x + 2x = 180°. 3x = 180°. x = 60°. Углы равны 60° и 2*60° = 120°.

Ответ: 1. Теорема, в которой условие и заключение меняются местами. Пример см. выше. 2. Сумма углов треугольника 180°. Свойства прямоугольных треугольников: острые углы в сумме 90°, катет против 30° = 1/2 гипотенузы, медиана к гипотенузе = 1/2 гипотенузы. 3. Треугольники равны по двум катетам, значит ∠B = ∠E. 4. Углы: 60° и 120°.