Билет №6. 1.Доказать теорему о вычислении площади параллелограмма. 2. Вписанная окружность, центр вписанной окружности. Свойство сторон четырёхугольника, описанного около окружности. 3.В треугольнике АВС угол А = 75°, угол В = 30°, АВ = 10см. Найти площадь треугольника. 4. Найти сторону равностороннего треугольника, если радиус описанной окружности около него окружности равен 10см.

Билет №6

Ответ: 12.5 кв.см

1. Задача 3: Найти площадь треугольника ABC

В треугольнике ABC угол A = 75°, угол B = 30°, AB = 10 см.

• Найдем угол C: ∠C = 180° - ∠A - ∠B = 180° - 75° - 30° = 75°.
• Так как углы A и C равны, треугольник ABC равнобедренный (AB = BC).
• По теореме синусов: AB / sin(C) = BC / sin(A). Поскольку AB = BC и sin(A) = sin(C), это подтверждает, что треугольник равнобедренный.
• Найдем сторону AC, используя теорему синусов: AB / sin(C) = AC / sin(B).
• 10 / sin(75°) = AC / sin(30°).
• AC = (10 * sin(30°)) / sin(75°). sin(30°) = 0.5, sin(75°) = sin(45° + 30°) = sin(45°)cos(30°) + cos(45°)sin(30°) = (√2 / 2)(√3 / 2) + (√2 / 2)(1 / 2) = (√6 + √2) / 4.
• AC = (10 * 0.5) / ((√6 + √2) / 4) = 20 / (√6 + √2).
• Площадь треугольника можно найти по формуле: S = (1/2) * AB * AC * sin(A).
• S = (1/2) * 10 * (20 / (√6 + √2)) * sin(75°).
• S = (1/2) * 10 * (20 / (√6 + √2)) * ((√6 + √2) / 4) = (1/2) * 10 * (20 / 4) = 10 * 5 / 2 = 12.5.
2. Задача 4: Найти сторону равностороннего треугольника

Радиус описанной окружности около равностороннего треугольника равен 10 см.

• Радиус описанной окружности равностороннего треугольника связан со стороной a формулой: R = a / √3.
• 10 = a / √3.
• a = 10 * √3.

Ответ: 12.5 кв.см