Билет №4. 1.Ромб. Свойства ромба. 2. Определение подобных треугольников. Признаки подобия треугольников. 3.В ромбе АВСД биссектриса угла ВАС пересекает сторону ВС и диагональ ВД соответственно в точках М и К, угол АМС равен 120°. Найти величину угла АКВ. 4. Через концы хорды АВ, равной радиусу окружности, проведены две касательные, пересекающие в точке С. Найти угол ACB.

Билет №4

Ответ: 30°

1. Задача 3: Найти угол АКВ

В ромбе ABCD биссектриса угла BAC пересекает сторону BC в точке M, а диагональ BD в точке K, угол AMC = 120°.

• Угол AMB смежный с углом AMC, следовательно, ∠AMB = 180° - 120° = 60°.
• В ромбе AB = BC, а AM - биссектриса, значит, ∠BAM = ∠CAM.
• Рассмотрим треугольник ABM: ∠BAM + ∠ABM + ∠AMB = 180°. Пусть ∠BAM = x, тогда x + ∠ABM + 60° = 180°, откуда ∠ABM = 120° - x.
• В ромбе противоположные углы равны, значит, ∠ABC = ∠ADC = 120° - x.
• Биссектриса делит угол BAC пополам, поэтому ∠BAC = 2x.
• Сумма углов ромба равна 360°, следовательно, 2(120° - x) + 2(2x) = 360°, откуда 240° - 2x + 4x = 360°, 2x = 120°, x = 60°.
• Таким образом, ∠BAC = 2 * 60° = 120°.
• ∠ABC = 120° - 60° = 60°. Следовательно, треугольник ABC равносторонний, и AB = BC.
• Так как BK - часть диагонали ромба, а диагонали ромба являются биссектрисами его углов, то ∠ABK = ∠CBK = 60° / 2 = 30°.
• Рассмотрим треугольник ABK: ∠BAK + ∠ABK + ∠AKB = 180°. Подставим известные значения: 60° + 30° + ∠AKB = 180°, откуда ∠AKB = 90°.
2. Задача 4: Найти угол АСВ

Через концы хорды AB, равной радиусу окружности, проведены две касательные, пересекающиеся в точке C.

• Пусть O - центр окружности. Так как AB равен радиусу, треугольник AOB равносторонний, и ∠AOB = 60°.
• Угол между касательной и радиусом, проведенным в точку касания, равен 90°. Следовательно, ∠OAC = ∠OBC = 90°.
• Рассмотрим четырехугольник OACB. Сумма углов в четырехугольнике равна 360°. Значит, ∠AOB + ∠OAC + ∠OBC + ∠ACB = 360°.
• Подставим известные значения: 60° + 90° + 90° + ∠ACB = 360°, откуда ∠ACB = 360° - 240° = 120°.
• Угол ACB составляет 360 - 120 = 240.
• Так как хорда AB равна радиусу, то треугольник AOB - равносторонний, и угол AOB = 60 градусов.
• Угол между касательными равен половине дуги, на которую опирается хорда.
• Значит, угол ACB = (180 - 60) / 2 = 60 градусов.
• Центральный угол AOB = 60 градусов, значит, вписанный угол ACB, опирающийся на ту же дугу, равен половине центрального угла, то есть 30 градусов.

Ответ: 30°