6. Биссектриса прямого угла прямоугольного треугольника делит гипотенузу на отрезки длиной 30 см и 40 см. Найдите площадь треугольника.

Пусть прямоугольный треугольник ABC, где угол C прямой. Биссектриса угла C пересекает гипотенузу AB в точке D. Пусть AD = 30 см, DB = 40 см. Тогда гипотенуза AB = 30 + 40 = 70 см. По свойству биссектрисы угла треугольника, $$\frac{AC}{BC} = \frac{AD}{DB} = \frac{30}{40} = \frac{3}{4}$$. Значит, $$AC = 3x$$, $$BC = 4x$$. По теореме Пифагора: $$AC^2 + BC^2 = AB^2$$ $$(3x)^2 + (4x)^2 = 70^2$$ $$9x^2 + 16x^2 = 4900$$ $$25x^2 = 4900$$ $$x^2 = 196$$ $$x = 14$$ Тогда AC = 3 * 14 = 42 см, BC = 4 * 14 = 56 см. Площадь треугольника: $$S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 42 \cdot 56 = 21 \cdot 56 = 1176$$ см². Ответ: 1176 см².