4. Найдите площадь ромба, сторона которого равна 15 см, а разность диагоналей - 6 см.

Пусть сторона ромба равна $$a = 15$$ см, а диагонали $$d_1$$ и $$d_2$$. Известно, что $$d_1 - d_2 = 6$$, значит $$d_1 = d_2 + 6$$. Диагонали ромба перпендикулярны и делят друг друга пополам. Поэтому образуется прямоугольный треугольник со сторонами $$\frac{d_1}{2}$$, $$\frac{d_2}{2}$$ и $$a = 15$$ см. По теореме Пифагора: $$(\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2 = a^2$$. Подставляем $$d_1 = d_2 + 6$$: $$(\frac{d_2 + 6}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2 = 15^2$$. $$\frac{(d_2 + 6)^2}{4} + \frac{d_2^2}{4} = 225$$ $$(d_2 + 6)^2 + d_2^2 = 900$$ $$d_2^2 + 12d_2 + 36 + d_2^2 = 900$$ $$2d_2^2 + 12d_2 - 864 = 0$$ $$d_2^2 + 6d_2 - 432 = 0$$ Решаем квадратное уравнение: $$d_2 = \frac{-6 \pm \sqrt{6^2 - 4 \cdot (-432)}}{2} = \frac{-6 \pm \sqrt{36 + 1728}}{2} = \frac{-6 \pm \sqrt{1764}}{2} = \frac{-6 \pm 42}{2}$$. Берем положительный корень: $$d_2 = \frac{-6 + 42}{2} = \frac{36}{2} = 18$$ см. Тогда $$d_1 = d_2 + 6 = 18 + 6 = 24$$ см. Площадь ромба: $$S = \frac{1}{2} d_1 d_2 = \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot 18 = 12 \cdot 18 = 216$$ см². Ответ: 216 см².