25. Биссектриса СМ треугольника АВС делит сторону АВ на отрезки АМ 9 и МВ = 12. Касательная к окружности, описанной около треугольника АВС, проходит через точку С и пересекает прямую АВ в точке D. Найдите CD.

По свойству биссектрисы треугольника:

$$\frac{AC}{BC} = \frac{AM}{MB} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4}$$

Пусть AC = 3x, BC = 4x.

По теореме о касательной и секущей:

$$CD^2 = DA \cdot DB$$

По свойству касательной и секущей: $$\angle$$ACD = $$\angle$$ABC. $$\angle$$CAD = $$\angle$$BAC. Следовательно, треугольники CAD и ABC подобны по двум углам.

$$\frac{AC}{AB} = \frac{AD}{AC} = \frac{CD}{BC}$$

$$AB = AM + MB = 9 + 12 = 21$$

$$\frac{AC}{AB} = \frac{AD}{AC} \implies AC^2 = AB \cdot AD \implies AD = \frac{AC^2}{AB} = \frac{(3x)^2}{21} = \frac{9x^2}{21} = \frac{3x^2}{7}$$ $$\frac{CD}{BC} = \frac{AC}{AB} \implies CD = \frac{AC \cdot BC}{AB} = \frac{3x \cdot 4x}{21} = \frac{12x^2}{21} = \frac{4x^2}{7}$$

$$DB = DA + AB = \frac{3x^2}{7} + 21$$

$$CD^2 = DA \cdot DB$$

$$(\frac{4x^2}{7})^2 = \frac{3x^2}{7} (\frac{3x^2}{7} + 21)$$ $$\frac{16x^4}{49} = \frac{9x^4}{49} + \frac{63x^2}{7}$$ $$16x^4 = 9x^4 + 441x^2$$ $$7x^4 = 441x^2$$

Так как x ≠ 0, то $$7x^2 = 441 \implies x^2 = \frac{441}{7} = 63 \implies x = \sqrt{63} = 3\sqrt{7}$$

$$CD = \frac{4x^2}{7} = \frac{4 \cdot 63}{7} = 4 \cdot 9 = 36$$

Ответ: 36