22. Постройте график функции $$y = \frac{(x+1)(x^2+7x+12)}{x+3}$$ и определите, при каких значениях т прямая у = т имеет с графиком ровно одну общую точку.

Преобразуем функцию:

$$y = \frac{(x+1)(x^2+7x+12)}{x+3} = \frac{(x+1)(x+3)(x+4)}{x+3}$$

При $$x
eq -3$$ функция принимает вид $$y = (x+1)(x+4) = x^2 + 5x + 4$$. Это парабола с вершиной в точке $$x_v = -\frac{5}{2}$$.

$$y_v = (-\frac{5}{2})^2 + 5(-\frac{5}{2}) + 4 = \frac{25}{4} - \frac{25}{2} + 4 = \frac{25 - 50 + 16}{4} = -\frac{9}{4}$$. Итак, вершина параболы в точке $$(-\frac{5}{2}, -\frac{9}{4})$$.

Функция не определена в точке $$x = -3$$. Найдем значение функции при $$x = -3$$:

$$y(-3) = (-3+1)(-3+4) = (-2)(1) = -2$$

Прямая $$y = m$$ имеет с графиком ровно одну общую точку, если она проходит через вершину параболы или через точку разрыва.

То есть, $$m = -\frac{9}{4} = -2.25$$ или $$m = -2$$.

Ответ: -2.25, -2