6) Биссектриса угла прямоугольника делит его диагональ на отре длиной 1 см и 4 см. Найдите площадь прямоугольника.

Пусть дан прямоугольник ABCD, в котором биссектриса угла A пересекает диагональ BD в точке E. Пусть BE = 1 см и ED = 4 см. Тогда BD = BE + ED = 1 + 4 = 5 см.

Рассмотрим треугольник ABD. AE - биссектриса угла A. По свойству биссектрисы треугольника, биссектриса делит сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. Таким образом:

$$\frac{AB}{AD} = \frac{BE}{ED} = \frac{1}{4}$$

Пусть AB = x, тогда AD = 4x. Применим теорему Пифагора к треугольнику ABD:

$$AB^2 + AD^2 = BD^2$$

$$x^2 + (4x)^2 = 5^2$$

$$x^2 + 16x^2 = 25$$

$$17x^2 = 25$$

$$x^2 = \frac{25}{17}$$

$$x = \sqrt{\frac{25}{17}} = \frac{5}{\sqrt{17}}$$. Тогда $$AB = \frac{5}{\sqrt{17}}$$ и $$AD = 4 \cdot \frac{5}{\sqrt{17}} = \frac{20}{\sqrt{17}}$$.

Площадь прямоугольника равна произведению его сторон: $$S = AB \cdot AD = \frac{5}{\sqrt{17}} \cdot \frac{20}{\sqrt{17}} = \frac{100}{17} \approx 5.88 \text{ см}^2$$.

Ответ: \(\frac{100}{17}\) см²