3) Катеты прямоугольного треугольника 9 см и 12 см. Найдите высоту, проведенную к гипотенузе.

Для решения данной задачи нам потребуется знание теоремы Пифагора и формулы площади треугольника.

Пусть катеты прямоугольного треугольника будут $$a = 9 \text{ см}$$ и $$b = 12 \text{ см}$$. Сначала найдем гипотенузу $$c$$ по теореме Пифагора: $$c^2 = a^2 + b^2$$.

Подставим значения катетов:

$$c^2 = 9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225$$

$$c = \sqrt{225} = 15 \text{ см}$$

Теперь найдем площадь треугольника двумя способами. С одной стороны, площадь треугольника равна половине произведения катетов:

$$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 12 = 54 \text{ см}^2$$

С другой стороны, площадь треугольника можно выразить как половину произведения гипотенузы на высоту, проведенную к ней: $$S = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h_c$$, где $$h_c$$ - высота, проведенная к гипотенузе.

Мы знаем, что $$S = 54 \text{ см}^2$$ и $$c = 15 \text{ см}$$. Подставим эти значения в формулу и найдем высоту $$h_c$$:

$$54 = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot h_c$$

$$h_c = \frac{2 \cdot 54}{15} = \frac{108}{15} = 7.2 \text{ см}$$

Таким образом, высота, проведенная к гипотенузе, равна 7.2 см.

Ответ: 7.2 см