678. Биссектрисы AA₁ и BB₁ треугольника ABC пересекаются в точке M. Найдите углы ACM и BCM, если: a) ∠AMB = 136°; б) ∠AMB = 111°.

a) Пусть углы треугольника ABC равны ∠A, ∠B и ∠C соответственно. Биссектрисы AA₁ и BB₁ пересекаются в точке M. Поскольку AA₁ и BB₁ — биссектрисы углов A и B, то ∠AAM = ∠A/2 и ∠BBM = ∠B/2. В треугольнике AMB сумма углов равна 180°, поэтому: $$\angle AMB + \frac{\angle A}{2} + \frac{\angle B}{2} = 180^\circ$$ Из этого уравнения можно найти сумму углов A и B: $$\frac{\angle A}{2} + \frac{\angle B}{2} = 180^\circ - \angle AMB$$ $$\angle A + \angle B = 2(180^\circ - \angle AMB)$$ Подставим ∠AMB = 136°: $$\angle A + \angle B = 2(180^\circ - 136^\circ) = 2(44^\circ) = 88^\circ$$ Теперь найдем угол C, используя тот факт, что сумма углов в треугольнике ABC равна 180°: $$\angle C = 180^\circ - (\angle A + \angle B) = 180^\circ - 88^\circ = 92^\circ$$ Так как AM и BM — биссектрисы углов A и B, то: $$\angle ACM = \frac{\angle C}{2} = \frac{92^\circ}{2} = 46^\circ$$ $$\angle BCM = \frac{\angle C}{2} = 46^\circ$$ Ответ: ∠ACM = 46°, ∠BCM = 46°. б) Подставим ∠AMB = 111°: $$\angle A + \angle B = 2(180^\circ - 111^\circ) = 2(69^\circ) = 138^\circ$$ Теперь найдем угол C, используя тот факт, что сумма углов в треугольнике ABC равна 180°: $$\angle C = 180^\circ - (\angle A + \angle B) = 180^\circ - 138^\circ = 42^\circ$$ Так как CM — биссектриса угла C, то: $$\angle ACM = \angle BCM = \frac{\angle C}{2} = \frac{42^\circ}{2} = 21^\circ$$ Ответ: ∠ACM = 21°, ∠BCM = 21°.