680. Серединные перпендикуляры к сторонам AB и AC треугольника ABC пересекаются в точке D стороны BC. Докажите, что: а) точка D — середина стороны BC; б) ∠A = ∠B + ∠C.

a) Пусть серединные перпендикуляры к сторонам AB и AC треугольника ABC пересекаются в точке D, лежащей на стороне BC. Так как D лежит на серединном перпендикуляре к AB, то AD = BD. Аналогично, так как D лежит на серединном перпендикуляре к AC, то AD = CD. Таким образом, AD = BD = CD. Это означает, что точка D является центром окружности, описанной около треугольника ABC, и лежит на стороне BC. Следовательно, D — середина BC, и BC — диаметр этой окружности. б) Поскольку AD = BD = CD, треугольник ABD — равнобедренный, и ∠BAD = ∠ABD. Аналогично, треугольник ACD — равнобедренный, и ∠CAD = ∠ACD. Запишем угол A как сумму углов BAD и CAD: $$\angle A = \angle BAD + \angle CAD = \angle ABD + \angle ACD = \angle B + \angle C$$ Таким образом, ∠A = ∠B + ∠C. Это означает, что угол A равен сумме углов B и C.