712. Биссектрисы MD и NK треугольника MNP пересекаются в точке O. Найдите отношение OK : ON, если MN = 5 см, NP = 3 см, MP = 7 см.

По свойству биссектрис треугольника, биссектриса угла делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. Рассмотрим треугольник MNP и биссектрису NK. По свойству биссектрисы:

MK / KP = MN / NP = 5 / 3.

Пусть MK = 5x и KP = 3x. Тогда MK + KP = MP, то есть 5x + 3x = 7, откуда 8x = 7 и x = 7/8.
Следовательно, MK = 5 * (7/8) = 35/8 см, KP = 3 * (7/8) = 21/8 см.

Теперь рассмотрим треугольник MNK и биссектрису MD. По свойству биссектрисы:

NO / OK = MN / MK = 5 / (35/8) = 5 * (8/35) = 40/35 = 8/7.

Значит, OK / ON = 7/8.

Ответ: OK : ON = 7 : 8.