713. Основание равнобедренного треугольника относится к боковой стороне как 4:3, а высота, проведённая к основанию, равна 30 см. Найдите отрезки, на которые эту высоту делит биссектриса угла при основании.

Пусть ABC – равнобедренный треугольник с основанием AC, где AC / AB = 4 / 3. Пусть AC = 4x и AB = BC = 3x. Пусть BH – высота, проведённая к основанию AC, BH = 30 см. Пусть BL – биссектриса угла B. Обозначим точку пересечения BH и BL через O. Нужно найти отрезки HO и OC.

Поскольку треугольник ABC равнобедренный, высота BH является и медианой, то есть AH = HC = AC / 2 = 2x.

Рассмотрим треугольник ABH. По теореме Пифагора, AB² = AH² + BH², то есть (3x)² = (2x)² + 30². Отсюда 9x² = 4x² + 900, 5x² = 900, x² = 180, x = sqrt(180) = 6 * sqrt(5).

Тогда AH = 2x = 12 * sqrt(5) см.

По свойству биссектрисы треугольника, AL / LC = AB / BC = 3x / 3x = 1.

Рассмотрим треугольник BHC. Пусть BO – биссектриса угла B. Тогда HO / OC = BH / BC = 30 / (3 * 6 * sqrt(5)) = 30 / (18 * sqrt(5)) = 5 / (3 * sqrt(5)) = sqrt(5) / 3.

Пусть HO = y, OC = z. Тогда HO / OC = y / z = sqrt(5) / 3. Также HO + OC = HC, то есть y + z = 12 * sqrt(5).
Выразим y через z: y = (sqrt(5) / 3) * z. Подставим в уравнение y + z = 12 * sqrt(5):
(sqrt(5) / 3) * z + z = 12 * sqrt(5). Умножим обе части на 3: sqrt(5) * z + 3z = 36 * sqrt(5), z * (sqrt(5) + 3) = 36 * sqrt(5), z = (36 * sqrt(5)) / (3 + sqrt(5)).

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на сопряжённое выражение (3 - sqrt(5)): z = (36 * sqrt(5) * (3 - sqrt(5))) / ((3 + sqrt(5)) * (3 - sqrt(5))) = (36 * sqrt(5) * (3 - sqrt(5))) / (9 - 5) = (36 * sqrt(5) * (3 - sqrt(5))) / 4 = 9 * sqrt(5) * (3 - sqrt(5)) = 27 * sqrt(5) - 45.

Следовательно, OC = 27 * sqrt(5) - 45 см.

Теперь найдём HO: HO = HC - OC = 12 * sqrt(5) - (27 * sqrt(5) - 45) = 12 * sqrt(5) - 27 * sqrt(5) + 45 = 45 - 15 * sqrt(5) см.

Ответ: HO = 45 - 15 * sqrt(5) см, OC = 27 * sqrt(5) - 45 см.