24. Биссектрисы углов А и D параллелограмма ABCD пересекаются в точке Е, лежащей на стороне ВС. Докажите, что Е – середина ВС.

Доказательство: 1. Пусть AE - биссектриса угла A, а DE - биссектриса угла D. 2. Поскольку ABCD - параллелограмм, углы A и D - односторонние, и их сумма равна 180 градусам. 3. AE и DE - биссектрисы, значит, углы EAD и EDA равны половине углов A и D соответственно. Следовательно, угол EAD + угол EDA = 1/2 * (угол A + угол D) = 1/2 * 180 = 90 градусов. 4. В треугольнике AED угол AED = 180 - (угол EAD + угол EDA) = 180 - 90 = 90 градусов. Следовательно, треугольник AED - прямоугольный. 5. Поскольку AE - биссектриса угла A, угол BAE = углу EAD. Так как BC || AD (ABCD - параллелограмм), угол BEA = углу EAD как накрест лежащие углы. Следовательно, угол BAE = углу BEA, и треугольник ABE - равнобедренный. Значит, AB = BE. 6. Аналогично, поскольку DE - биссектриса угла D, угол CDE = углу EDA. Так как BC || AD, угол CED = углу EDA как накрест лежащие углы. Следовательно, угол CDE = углу CED, и треугольник CDE - равнобедренный. Значит, CD = CE. 7. В параллелограмме ABCD противоположные стороны равны, то есть AB = CD. Следовательно, BE = CE. 8. Поскольку BE = CE и точка E лежит на стороне BC, точка E является серединой BC. Что и требовалось доказать.