25. В треугольнике АВС известны длины сторон АВ = 18, AC = 36, точка О – центр окружности, описанной около треугольника АВС. Прямая ВД, перпендикулярная прямой АО, пересекает сторону АС в точке D. Найдите CD.

К сожалению, без рисунка к задаче решение может быть неоднозначным. Я буду предполагать, что точка D лежит на стороне AC. Вот один из возможных подходов к решению: 1. Поскольку BD перпендикулярна AO, треугольник, образованный AO и BD, прямоугольный. 2. Рассмотрим описанную окружность вокруг треугольника ABC с центром в точке O. 3. Продлим BD до пересечения с окружностью в точке E. Тогда угол BAE = углу BCE как опирающиеся на одну и ту же дугу BE. 4. Поскольку AO - радиус описанной окружности и BD перпендикулярна AO, BD является хордой, а AO - перпендикуляром к хорде. Следовательно, AO делит хорду BE пополам (пусть точка пересечения AO и BE будет K), то есть BK = KE. 5. Треугольники ABK и AEK равны по двум сторонам (AK - общая, BK = KE) и углу между ними (угол AKB = углу AKE = 90 градусов). Следовательно, AB = AE. 6. Так как AB = 18 и AC = 36, то AE = 18. 7. Рассмотрим треугольник ACE. У него AE = 18 и AC = 36, то есть AE = 1/2 * AC. Это может говорить о некоторых особых свойствах треугольника или о том, что треугольники подобны. К сожалению, без дополнительных данных о положении точки D или углах треугольника я не могу определить длину CD точно. Для точного решения нужно знать дополнительные свойства треугольника или использовать тригонометрические функции, а также понимать точное расположение точки D.