Биссектрисы углов А и D параллелограмма ABCD пересекаются в точке К, лежащей на стороне ВС. Докажите, что К - середина ВС.

Доказательство:

Пусть биссектрисы углов $$A$$ и $$D$$ пересекаются в точке $$K$$ на стороне $$BC$$.

Так как $$AK$$ – биссектриса угла $$A$$, то $$\angle BAK = \angle KAD$$.

Аналогично, так как $$DK$$ – биссектриса угла $$D$$, то $$\angle CDK = \angle KDA$$.

В параллелограмме $$ABCD$$ стороны $$AB$$ и $$CD$$ параллельны, значит, $$\angle BAK = \angle CKA$$ (как внутренние накрест лежащие углы).

Также стороны $$AD$$ и $$BC$$ параллельны, значит, $$\angle KDA = \angle AKB$$ (как внутренние накрест лежащие углы).

Таким образом, $$\angle BAK = \angle CKA$$ и $$\angle KAD = \angle CKA$$, следовательно, $$\triangle ABK$$ – равнобедренный, и $$AB = BK$$.

Аналогично, $$\angle CDK = \angle BKD$$ и $$\angle KDA = \angle BKD$$, следовательно, $$\triangle CDK$$ – равнобедренный, и $$CD = CK$$.

В параллелограмме противоположные стороны равны, значит, $$AB = CD$$.

Следовательно, $$BK = CK$$, и точка $$K$$ – середина стороны $$BC$$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано