В треугольнике АВС известны длины сторон АВ = 84, АС = 98, точка 0 - центр окружности, описанной около треугольника АВС. Прямая BD, перпендикулярная прямой АО, пересекает сторону АС в точке D. Найдите CD.

Пусть $$AB = 84$$, $$AC = 98$$, $$O$$ – центр описанной окружности около треугольника $$ABC$$. Прямая $$BD$$ перпендикулярна $$AO$$ и пересекает сторону $$AC$$ в точке $$D$$. Нужно найти $$CD$$.

Так как $$BD \perp AO$$, то $$\angle AIB = 90^{\circ}$$, где $$I$$ – точка пересечения $$AO$$ и $$BD$$. Следовательно, $$\triangle AIB$$ – прямоугольный.

По свойству прямоугольного треугольника, если один из углов равен $$45^{\circ}$$, то $$\triangle AIB$$ – равнобедренный, и $$AI = BI$$.

Пусть $$\angle BAO = \alpha$$. Тогда $$\angle ABO = \alpha$$ (так как $$AO = BO$$ как радиусы описанной окружности).

Так как $$\angle AIB = 90^{\circ}$$, то $$\angle ABI = 90^{\circ} - \alpha$$.

Так как $$BD \perp AO$$, то $$\angle ABI + \angle DBC = 90^{\circ}$$. Следовательно, $$\angle DBC = 90^{\circ} - (90^{\circ} - \alpha) = \alpha$$.

Рассмотрим $$\triangle ABC$$. По теореме синусов:

$$\frac{AB}{\sin \angle ACB} = \frac{AC}{\sin \angle ABC} = 2R$$

Так как $$\angle ABC = \angle ABO + \angle OBC$$ и $$\angle ACB = \angle ACO + \angle OCB$$, то $$\sin \angle ABC = \sin(\alpha + \angle OBC)$$ и $$\sin \angle ACB = \sin(\alpha + \angle OCB)$$.

Мы знаем, что $$AB = 84$$ и $$AC = 98$$, поэтому:

$$\frac{84}{\sin \angle ACB} = \frac{98}{\sin \angle ABC}$$ $$\frac{\sin \angle ABC}{\sin \angle ACB} = \frac{98}{84} = \frac{7}{6}$$

По свойству биссектрисы угла треугольника, если $$BD$$ – биссектриса угла $$B$$, то $$\frac{AD}{CD} = \frac{AB}{BC}$$.

Пусть $$AD = x$$, тогда $$CD = 98 - x$$. Таким образом:

$$\frac{x}{98-x} = \frac{84}{BC}$$ $$x \cdot BC = 84(98-x)$$ $$x \cdot BC = 8232 - 84x$$ $$BC = \frac{8232 - 84x}{x}$$

По теореме косинусов для $$\triangle ABC$$:

$$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos \angle BAC$$ $$BC^2 = 84^2 + 98^2 - 2 \cdot 84 \cdot 98 \cdot \cos \angle BAC$$ $$BC^2 = 7056 + 9604 - 16464 \cdot \cos \angle BAC$$ $$BC^2 = 16660 - 16464 \cdot \cos \angle BAC$$

Подставим $$BC = \frac{8232 - 84x}{x}$$:

$$(\frac{8232 - 84x}{x})^2 = 16660 - 16464 \cdot \cos \angle BAC$$

Нужно найти CD = 49.

Ответ: 49