24. Биссектрисы углов А и В параллелограмма ABCD пересекаются в точке №, лежащей на стороне CD. Докажите, что № – середина CD.

Пусть AA1 и BB1 - биссектрисы углов A и B параллелограмма ABCD, точка N - точка пересечения биссектрис на стороне CD.

Так как AA1 - биссектриса угла A, то угол DAA1 = углу A1AB.

Угол DAA1 = углу B1NA (как накрест лежащие углы при параллельных прямых AD и BC и секущей AA1).

Значит, угол B1NA = углу A1AB. Следовательно, треугольник ABN - равнобедренный, AN = BN.

Аналогично, угол ABB1 = углу B1BC.

Угол ABB1 = углу A1NB (как накрест лежащие углы при параллельных прямых AB и CD и секущей BB1).

Значит, угол A1NB = углу B1BC. Следовательно, треугольник BCN - равнобедренный, BN = CN.

Так как AA1 и BB1 - биссектрисы, то сумма углов A и B в параллелограмме равна 180 градусов (свойство параллелограмма).

Следовательно, AA1 и BB1 пересекаются, образуя треугольник ABN.

Из равнобедренных треугольников ABN и BCN следует, что AN = BN = CN. Следовательно, AN = BN.

Таким образом, CN = AN. Следовательно, точка N - середина CD.

Ответ: Доказано, что N – середина CD.