18. Биссектрисы углов А и В параллелограмма ABCD пересекаются в точке М, лежащей на стороне ВС. Найдите периметр параллелограмма ABCD, если АВ = 6.

Пусть ABCD - параллелограмм, в котором AB = 6. Биссектрисы углов A и B пересекаются в точке M, лежащей на стороне BC.

Поскольку AM - биссектриса угла A, то ∠BAM = ∠MAD. Так как ABCD - параллелограмм, то BC || AD, следовательно, ∠BMA = ∠MAD как накрест лежащие углы. Тогда ∠BAM = ∠BMA, и треугольник ABM - равнобедренный, следовательно, AB = BM = 6.

Аналогично, поскольку BM - биссектриса угла B, то ∠ABM = ∠MBC. Так как AB || CD, то ∠AMB = ∠MCD как накрест лежащие углы. Тогда ∠MBC = ∠BMC, и треугольник CBM - равнобедренный, следовательно, BC = CM.

Поскольку BM - биссектриса угла B, то ∠ABM = ∠MBC. Так как ABCD - параллелограмм, то BC || AD, следовательно, ∠BMA = ∠MAD как накрест лежащие углы. Тогда ∠ABM = ∠AMB, и треугольник ABM - равнобедренный, следовательно, AB = AM = 6.

Поскольку BM - биссектриса угла B, то ∠ABM = ∠MBC. Так как AB || CD, то ∠AMB = ∠MCD как накрест лежащие углы. Тогда ∠MBC = ∠BMC, и треугольник CBM - равнобедренный, следовательно, BC = CM.

Пусть BC = x. Тогда BM + MC = BC, откуда 6 + MC = x, следовательно, MC = x - 6. Так как BC = AD, а AB = CD, то периметр параллелограмма равен:

P = 2(AB + BC) = 2(6 + x)

Поскольку BC = x, то 6 + CM = x. А так как BM = AB = 6, то MC = BC - BM = x - 6.

Из условия задачи следует, что M лежит на стороне BC, значит, BM + MC = BC, тогда 6 + x - 6 = x, следовательно, 6 = CM, но CM = x-6, то есть 6 = x-6, x = 12. Таким образом, BC = 12.

Тогда периметр параллелограмма равен:

P = 2(AB + BC) = 2(6 + 12) = 2 \cdot 18 = 36

Ответ: 36