24. Биссектрисы углов D и G параллелограмма DEFG пересекаются в точке Р, лежащей на стороне EF. Докажите, что Р EF.

Шаг 1: Рассмотрим параллелограмм DEFG.

Шаг 2: DP - биссектриса угла D, следовательно, ∠EDP = ∠PDG.

Шаг 3: GP - биссектриса угла G, следовательно, ∠FGP = ∠PGD.

Шаг 4: Углы D и G в параллелограмме равны, следовательно, ∠EDP = ∠PDG = ∠FGP = ∠PGD.

Шаг 5: Рассмотрим треугольник DPG. Сумма углов ∠PDG и ∠PGD равна половине суммы углов D и G, значит, ∠PDG + ∠PGD = (∠D + ∠G) / 2

Шаг 6: Так как сумма углов D и G в параллелограмме равна 180°, то ∠PDG + ∠PGD = 180° / 2 = 90°.

Шаг 7: Следовательно, угол ∠DPG = 180° - (∠PDG + ∠PGD) = 180° - 90° = 90°.

Шаг 8: Рассмотрим треугольник DEP. Угол ∠DEP является внутренним односторонним углом с углом ∠PDG, а углы ∠EDP и ∠PDG равны, следовательно треугольник DEP - равнобедренный, и DE = EP.

Шаг 9: Рассмотрим треугольник GFP. Угол ∠GFP является внутренним односторонним углом с углом ∠PGD, а углы ∠FGP и ∠PGD равны, следовательно треугольник GFP - равнобедренный, и GF = FP.

Шаг 10: В параллелограмме противоположные стороны равны, следовательно, DE = GF. Из равенств DE = EP и GF = FP получаем, что EP = FP.

Шаг 11: Так как EP = FP, то точка P является серединой стороны EF.