22. Постройте график функции y = \frac{x^4-10x^2 +9}{(x+3)(x-1)} и определите, при ка- ких значениях с прямая y = c имеет с графиком ровно одну общую точку.

Решение:

Шаг 1: Упростим функцию, разложив числитель на множители:

\[y = \frac{x^4 - 10x^2 + 9}{(x+3)(x-1)}\]

Заметим, что числитель можно представить как разность квадратов:

\[x^4 - 10x^2 + 9 = (x^2 - 1)(x^2 - 9) = (x - 1)(x + 1)(x - 3)(x + 3)\]

Тогда функция примет вид:

\[y = \frac{(x - 1)(x + 1)(x - 3)(x + 3)}{(x+3)(x-1)}\]

Шаг 2: Сократим общие множители в числителе и знаменателе (с учетом ОДЗ: x ≠ -3 и x ≠ 1):

\[y = (x + 1)(x - 3) = x^2 - 2x - 3\]

Таким образом, получаем параболу с вершиной в точке (1, -4), но с выколотыми точками при x = -3 и x = 1.

При x = -3, y = (-3 + 1)(-3 - 3) = (-2)(-6) = 12

При x = 1, y = (1 + 1)(1 - 3) = (2)(-2) = -4

Итак, у нас есть парабола y = x² - 2x - 3 с выколотыми точками (-3, 12) и (1, -4).

Шаг 3: Найдем вершину параболы:

x_в = -b / 2a = -(-2) / (2 * 1) = 1

y_в = 1² - 2 * 1 - 3 = -4

Вершина параболы находится в точке (1, -4), но эта точка выколота.

Шаг 4: Определим значения c, при которых прямая y = c имеет с графиком ровно одну общую точку:

• Прямая y = -4 касается параболы в вершине, но вершина выколота, поэтому нет общей точки.
• Прямая y = 12 проходит через выколотую точку (-3, 12), поэтому это значение нам не подходит, так как есть только одна точка пересечения.

Таким образом, прямая y = c будет иметь с графиком ровно одну общую точку при y < -4.