Блок 3. Уровень «На 5». 3. Найдите область допустимых значений выражения и докажите, что оно имеет смысл при любых значениях переменной \(m\): \(\frac{m^3-2m+5}{m^2-6m+10}\).

Нужно показать, что знаменатель никогда не равен нулю. Выделим полный квадрат: \(m^2-6m+10=(m-3)^2+1\).

Так как квадрат неотрицателен, \((m-3)^2+1\ge1>0\) при любом действительном \(m\). Следовательно, знаменатель не равен нулю ни при каком действительном значении переменной.

Ответ: ОДЗ — все действительные числа, \(m\in\mathbb{R}\); выражение имеет смысл при любом действительном \(m\).