6. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 30 см, а высота, проведенная к основанию, — 10 см. Вычислите площадь данного треугольника.

Пусть ABC - равнобедренный треугольник, где AB = BC = 30 см, и высота BH = 10 см. Высота, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, является и медианой. Значит, AH = HC. Обозначим AH = x. Тогда AC = 2x. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH. По теореме Пифагора: $$AB^2 = AH^2 + BH^2$$ $$30^2 = x^2 + 10^2$$ $$900 = x^2 + 100$$ $$x^2 = 800$$ $$x = \sqrt{800} = 20\sqrt{2}$$ Тогда AC = 2x = 40√2 см. Площадь треугольника ABC можно вычислить по формуле: $$S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH = \frac{1}{2} \cdot 40\sqrt{2} \cdot 10 = 200\sqrt{2}$$ Ответ: 200√2 см²