4. Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды, равное 12 см, образует с плоскостью основания угол 60°. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Пусть боковое ребро пирамиды равно $$l = 12$$ см, угол между боковым ребром и плоскостью основания равен $$\alpha = 60^\circ$$. Обозначим сторону основания через $$a$$, а высоту пирамиды через $$h$$. Тогда $$h = l \sin(\alpha) = 12 \sin(60^\circ) = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$$. Так как пирамида правильная четырехугольная, основание - квадрат. Половина диагонали основания равна $$x = l \cos(\alpha) = 12 \cos(60^\circ) = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6$$. Тогда диагональ основания равна $$2x = 12$$, а сторона основания $$a = \frac{12}{\sqrt{2}} = 6\sqrt{2}$$. Апофема (высота боковой грани) $$m$$ может быть найдена из прямоугольного треугольника, образованного высотой пирамиды, половиной стороны основания и апофемой: $$m = \sqrt{h^2 + (a/2)^2} = \sqrt{(6\sqrt{3})^2 + (3\sqrt{2})^2} = \sqrt{108 + 18} = \sqrt{126} = 3\sqrt{14}$$ Площадь боковой поверхности пирамиды $$S_{бок}$$ равна сумме площадей боковых граней: $$S_{бок} = 4 \cdot \frac{1}{2} a m = 2 a m = 2 \cdot 6\sqrt{2} \cdot 3\sqrt{14} = 36 \sqrt{28} = 36 \cdot 2\sqrt{7} = 72\sqrt{7}$$ Ответ: $$72\sqrt{7}$$