3. Стороны основания прямого параллелепипеда равны 3 и 5 см, угол между ними равен 60°. Большая диагональ параллелепипеда равна 10 см. Найдите боковое ребро параллелепипеда.

Пусть стороны основания равны $$a = 3$$ и $$b = 5$$, угол между ними $$\alpha = 60^\circ$$. Большая диагональ параллелепипеда равна $$d = 10$$. Обозначим боковое ребро параллелепипеда через $$h$$. Диагональ основания $$D$$ можно найти по теореме косинусов: $$D^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(180^\circ - \alpha) = a^2 + b^2 + 2ab \cos(\alpha)$$ $$D^2 = 3^2 + 5^2 + 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cos(60^\circ) = 9 + 25 + 30 \cdot \frac{1}{2} = 34 + 15 = 49$$ $$D = \sqrt{49} = 7$$ Теперь, используя теорему Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного большей диагональю параллелепипеда, диагональю основания и боковым ребром: $$d^2 = D^2 + h^2$$ $$10^2 = 7^2 + h^2$$ $$100 = 49 + h^2$$ $$h^2 = 100 - 49 = 51$$ $$h = \sqrt{51}$$ Ответ: $$\sqrt{51}$$