Боковые стороны АВ и СД трапеции ABCD равны соответственно 10 и 26, a основание ВС равно 1. Биссектриса угла ADC проходит через середину стороны АВ. Найдите площадь трапеции.

Пусть ABCD - трапеция, AB=10, CD=26, BC=1. Биссектриса угла ADC проходит через середину стороны AB, назовём эту середину точкой E.

Так как DE - биссектриса угла ADC, то $$\angle ADE = \angle EDC$$.

Так как BC || AD, то $$\angle EDC = \angle DEA$$ как накрест лежащие углы.

Следовательно, $$\angle ADE = \angle DEA$$. Тогда треугольник ADE - равнобедренный, AE = AD.

Так как E - середина AB, то AE = EB = AB/2 = 10/2 = 5.

Тогда AD = AE = 5.

Проведем высоту CH к основанию AD. CH = h.

Проведем высоту BK к основанию AD. BK = h.

Тогда AK = (AD - BC) / 2 = (5 - 1) / 2 = 4 / 2 = 2.

В прямоугольном треугольнике ABK: $$AB^2 = AK^2 + BK^2$$.

$$10^2 = 2^2 + h^2$$.

$$100 = 4 + h^2$$.

$$h^2 = 96$$.

$$h = \sqrt{96} = \sqrt{16 \cdot 6} = 4\sqrt{6}$$.

Площадь трапеции $$S = \frac{BC+AD}{2} \cdot h = \frac{1+5}{2} \cdot 4\sqrt{6} = \frac{6}{2} \cdot 4\sqrt{6} = 3 \cdot 4\sqrt{6} = 12\sqrt{6}$$.

Ответ: $$12\sqrt{6}$$