Постройте график функции у = (x²+1)(x-2) 2-x Определите, при каких значениях к прямая у = kx имеет с графиком ровно одну общую точку.

Функция имеет вид $$y = \frac{(x^2+1)(x-2)}{2-x}$$.

При $$x
e 2$$ можно сократить дробь:

$$y = \frac{(x^2+1)(x-2)}{-(x-2)} = -(x^2+1) = -x^2 - 1$$

Итак, $$y = -x^2 - 1$$ при $$x
e 2$$.

Графиком функции является парабола $$y = -x^2 - 1$$ с выколотой точкой при $$x = 2$$.

При $$x = 2$$, $$y = -2^2 - 1 = -4 - 1 = -5$$.

Выколотая точка: $$(2; -5)$$.

Прямая $$y = kx$$ проходит через начало координат.

Чтобы прямая имела с графиком ровно одну общую точку, она должна либо касаться параболы, либо проходить через выколотую точку.

1) Прямая проходит через выколотую точку $$(2; -5)$$. Тогда $$-5 = k \cdot 2$$, откуда $$k = -\frac{5}{2} = -2.5$$.

2) Прямая касается параболы. Приравняем уравнения: $$-x^2 - 1 = kx$$

$$x^2 + kx + 1 = 0$$

Чтобы было одно решение, дискриминант должен быть равен нулю:

$$D = k^2 - 4(1)(1) = k^2 - 4 = 0$$

$$k^2 = 4$$

$$k = \pm 2$$

Итак, $$k = -2.5, k = -2, k = 2$$.

Ответ: -2.5; -2; 2