C-14 2. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC проведена медиана MB. На продолжении медианы за точку M взята точка D. Докажите, что △AMD = △CMD.

Дано: * ΔABC – равнобедренный треугольник с основанием AC. * MB – медиана, следовательно, AM = MC. * Точка D лежит на продолжении медианы MB за точку M. Доказать: ΔAMD = ΔCMD. Доказательство: 1. Рассмотрим треугольники ΔAMB и ΔCMB: * AM = MC (по условию, так как MB – медиана). * AB = BC (по условию, так как ΔABC – равнобедренный). * MB – общая сторона. Следовательно, ΔAMB = ΔCMB по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам). 2. Из равенства треугольников ΔAMB и ΔCMB следует, что ∠AMB = ∠CMB. 3. ∠AMD и ∠AMB – смежные углы, а ∠CMD и ∠CMB – смежные углы. Так как ∠AMB = ∠CMB, то и смежные с ними углы равны: ∠AMD = ∠CMD. 4. Рассмотрим треугольники ΔAMD и ΔCMD: * AM = MC (по условию, так как MB – медиана). * ∠AMD = ∠CMD (доказано выше). * MD – общая сторона. Следовательно, ΔAMD = ΔCMD по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Что и требовалось доказать.