C1. Разложите на множители x³ -8y³ +2x²y-4xy².

Решение:

Перегруппируем слагаемые для удобства:

\( x^3 - 8y^3 + 2x^2y - 4xy^2 \)

Сгруппируем первые два слагаемых (разность кубов) и последние два слагаемых (вынесем общий множитель \( 2xy \)):

\( (x^3 - (2y)^3) + (2x^2y - 4xy^2) \)

Разложим разность кубов по формуле \( a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2) \):

\( (x - 2y)(x^2 + x(2y) + (2y)^2) = (x - 2y)(x^2 + 2xy + 4y^2) \)

Вынесем общий множитель \( 2xy \) из второй группы:

\( 2xy(x - 2y) \)

Теперь выражение выглядит так:

\( (x - 2y)(x^2 + 2xy + 4y^2) + 2xy(x - 2y) \)

Теперь мы видим общий множитель \( (x - 2y) \). Вынесем его:

\( (x - 2y) [ (x^2 + 2xy + 4y^2) + 2xy ] \)

Упростим выражение в квадратных скобках:

\( (x - 2y) [ x^2 + 2xy + 2xy + 4y^2 ] \)

\( (x - 2y) [ x^2 + 4xy + 4y^2 ] \)

Выражение в квадратных скобках \( x^2 + 4xy + 4y^2 \) является полным квадратом суммы \( (x + 2y)^2 \).

\( (x - 2y)(x + 2y)^2 \)

Ответ: \( (x - 2y)(x + 2y)^2 \)