C1. В треугольник ABC со сторонами AB = 5 см, BC = 8 см, AC = 9 см вписана окружность, касающаяся AC в точке K. Найдите расстояние от точки K до точки M биссектрисы BM.

Обозначим полупериметр треугольника: s = (5 + 8 + 9)/2 = 11 см.

Точка касания вписанной окружности со стороной AC делит её на отрезки: AK = s − BC = 11 − 8 = 3 см, CK = s − AB = 11 − 5 = 6 см.

Точка M — центр вписанной окружности, лежащий на биссектрисе BM. Радиус MK перпендикулярен AC, поэтому треугольник BKM прямоугольный. По теореме о биссектрисе BM: AM : MC = AB : BC = 5 : 8, следовательно, BM является биссектрисой угла B. Для нахождения расстояния от K до M используем радиус вписанной окружности.

Площадь по формуле Герона: S = √(11 · 6 · 3 · 2) = 6√11 см². Радиус r = S/s = 6√11/11 см.

Так как MK = r, искомое расстояние равно 6√11/11 см.

Ответ: 6√11/11 см.