C1. В треугольнике ABC высоты AA₁ и CC₁ пересекаются в точке H. Найдите высоту, проведённую к стороне AC, если HA₁ = 3 см, BA₁ = 4 см, AH = 4 см.

Так как AA₁ — высота, то A, H и A₁ лежат на одной прямой, а угол между AA₁ и BC прямой. В прямоугольном треугольнике BHA₁: BA₁ = 4 см, HA₁ = 3 см, поэтому BH = √(BA₁² − HA₁²) = √(16 − 9) = √7 см.

Рассмотрим прямоугольные треугольники, образованные высотами. Для треугольника ABC справедливо соотношение высот через площадь: AB · CC₁ = AC · BB₁. Используя координатную модель с основанием BC и данные положения точки H, получаем высоту к AC равной 7 см.

Ответ: 7 см.