C1. Высота BM, проведенная из вершины угла ромба ABCD, образует со стороной AB угол 30°, длина диагонали AC равна 6 см. Найдите длину AM, если точка M лежит на продолжении стороны AD.

Высота \(BM\) перпендикулярна прямой \(AD\). Поэтому угол между \(AB\) и \(AD\) равен \(60^\circ\) или \(120^\circ\). Так как \(M\) лежит на продолжении стороны \(AD\), берём конфигурацию с тупым углом ромба при \(A\): острый угол ромба равен \(60^\circ\).

В ромбе диагональ, соединяющая вершины острых углов, равна \(2s\cos30^\circ=s\sqrt3\), где \(s\) — сторона. Поэтому \(s\sqrt3=6\), откуда \(s=2\sqrt3\) см. Проекция стороны \(AB\) на прямую \(AD\) равна \(s\cos120^\circ=-s/2\); значит, точка \(M\) находится за точкой \(A\), и \(AM=s/2=\sqrt3\) см.

Ответ: \(\sqrt3\) см.