C2. ABCD — трапеция, в которой \(\angle A=90^\circ\), \(\angle BCA=45^\circ\), \(\angle ACD=90^\circ\), \(AC=a\). Найдите величины \(|\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CD}|\) и \(|\overrightarrow{CB}|-|\overrightarrow{CA}|+|\overrightarrow{CD}|\).

Так как \(\angle A=90^\circ\), а основания трапеции параллельны, на рисунке BC и AD горизонтальны, а AB вертикальна. Треугольник ABC прямоугольный при B; поскольку \(\angle BCA=45^\circ\), он равнобедренный, поэтому \(|CB|=|AB|=a/\sqrt2\).

Треугольник ACD прямоугольный при C. Угол между AC и AD равен 45°, поэтому он также равнобедренный и \(|CD|=|AC|=a\).

Для первой величины применим правило треугольника: \(-\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{AC}\), а \(\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}\). Тогда \(\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}\). Векторы \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{CD}\) перпендикулярны, поэтому модуль суммы равен \(\sqrt{(a/\sqrt2)^2+a^2}=a\sqrt{3/2}=\frac{a\sqrt6}{2}\).

Вторая величина равна \(|CB|-|CA|+|CD|=\frac{a}{\sqrt2}-a+a=\frac{a}{\sqrt2}=\frac{a\sqrt2}{2}\).

Ответ: первая величина — \(\frac{a\sqrt6}{2}\), вторая — \(\frac{a\sqrt2}{2}\).