C3. Найдите точки разрыва (если они существуют) функции \(f(x)=\begin{cases}\cos x, & x\le0,\\ x^2+1, & 0<x<1,\\ x, & x\ge1.\end{cases}\)

Внутри каждого промежутка формулы задают непрерывные функции, поэтому возможные точки разрыва — границы частей: \(x=0\) и \(x=1\).

При \(x=0\): \(f(0)=\cos0=1\), левый предел равен \(1\), правый предел \(0^2+1=1\). Следовательно, функция непрерывна в точке \(0\).

При \(x=1\): левый предел равен \(1^2+1=2\), а \(f(1)=1\) и правый предел равен \(1\). Односторонние пределы различны, поэтому в точке \(1\) имеется разрыв скачком.

Ответ: точка разрыва — \(x=1\).