Calculate: \(\frac{1}{\frac{1}{30} + \frac{1}{42}}\)

Решение:

Сначала выполним сложение дробей в знаменателе.

1. Найдем общий знаменатель для 30 и 42. Наименьший общий знаменатель равен 210 (30 = 2*3*5, 42 = 2*3*7, НОЗ = 2*3*5*7 = 210).
2. Приведём дроби к общему знаменателю: \(\frac{1}{30} = \frac{1 \times 7}{30 \times 7} = \frac{7}{210}\), \(\frac{1}{42} = \frac{1 \times 5}{42 \times 5} = \frac{5}{210}\)
3. Сложим дроби в знаменателе: \(\frac{7}{210} + \frac{5}{210} = \frac{12}{210}\).
4. Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 6: \(\frac{12 \div 6}{210 \div 6} = \frac{2}{35}\).
5. Теперь выполним деление: \(\frac{1}{\frac{2}{35}}\). Это эквивалентно умножению 1 на обратную дробь \(\frac{35}{2}\).
6. \(1 \times \frac{35}{2} = \frac{35}{2}\).
7. Представим в виде смешанного числа: \(\frac{35}{2} = 17\frac{1}{2}\).

Ответ: \(17\frac{1}{2}\)