Часть 2. Площадь боковой поверхности четырёхугольной пирамиды SABCD равна 108, а площадь полной поверхности этой пирамиды равна 144. а) Докажите, что высота этой пирамиды равна диагонали её основания. б) Найдите площадь сечения, проходящего через вершину S этой пирамиды и через диагональ её основания

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

а) Доказательство:

1. Шаг 1: Площадь полной поверхности (S_{полн}) равна сумме площади боковой поверхности (S_{бок}) и площади основания (S_{осн}): \( S_{полн} = S_{бок} + S_{осн} \).
2. Шаг 2: Подставим известные значения: \( 144 = 108 + S_{осн} \).
3. Шаг 3: Найдем площадь основания: \( S_{осн} = 144 - 108 = 36 \).
4. Шаг 4: Пирамида SABCD четырёхугольная. Площадь основания равна 36.
5. Шаг 5: Площадь боковой поверхности равна 108.
6. Шаг 6: Обозначим высоту пирамиды как h, а диагонали основания как d₁ и d₂.
7. Шаг 7: Площадь боковой поверхности равна сумме площадей четырех треугольников, составляющих боковые грани. Для правильной пирамиды все боковые грани равны, но в условии не сказано, что пирамида правильная.
8. Шаг 8: В условии задачи не сказано, что пирамида правильная. Однако, если предположить, что основание - квадрат (что часто подразумевается в таких задачах, если не указано иное), то площадь квадрата со стороной 'a' равна \( a^2 = 36 \), откуда \( a = 6 \). Диагональ квадрата \( d = a√{2} = 6√{2} \).
9. Шаг 9: Если мы предположим, что пирамида правильная, то все боковые грани - равные равнобедренные треугольники. Площадь боковой поверхности \( S_{бок} = 4 · S_{грани} = 108 \), откуда \( S_{грани} = 108 / 4 = 27 \).
10. Шаг 10: Пусть апофема боковой грани равна 'l'. Тогда \( S_{грани} = rac{1}{2} · a · l = 27 \). \( rac{1}{2} · 6 · l = 27 \) \( 3l = 27 \) \( l = 9 \).
11. Шаг 11: Теперь найдем высоту пирамиды. В прямоугольном треугольнике, образованном апофемой (l=9), высотой (h) и радиусом вписанной окружности основания (r = a/2 = 6/2 = 3), имеем: \( l^2 = h^2 + r^2 \) \( 9^2 = h^2 + 3^2 \) \( 81 = h^2 + 9 \) \( h^2 = 72 \) \( h = √{72} = 6√{2} \).
12. Шаг 12: Диагональ основания равна \( d = 6√{2} \). Таким образом, высота пирамиды равна диагонали основания.

б) Площадь сечения:

1. Шаг 1: Сечение проходит через вершину S и диагональ AC основания. Это треугольник SAC.
2. Шаг 2: Основанием этого треугольника является диагональ AC, длина которой равна \( 6√{2} \).
3. Шаг 3: Высотой этого треугольника является высота пирамиды, так как она проведена из вершины S к основанию AC (диагональ лежит в основании). Высота пирамиды равна \( h = 6√{2} \).
4. Шаг 4: Площадь сечения (S_{сечения}) равна площади треугольника SAC: \( S_{сечения} = rac{1}{2} · основание · высота \).
   \( S_{сечения} = rac{1}{2} · AC · h \)
   \( S_{сечения} = rac{1}{2} · 6√{2} · 6√{2} \)
   \( S_{сечения} = rac{1}{2} · 36 · 2 \)
   \( S_{сечения} = 36 \)

Ответ: а) Доказано. б) 36