Часть 3. Решите графически системы уравнений. Вариант 1: а) \(\begin{cases}x^2+2y=6,\\y=x-1;\end{cases}\) б) \(\begin{cases}x^2-y^2=24,\\x-2y=7;\end{cases}\) в) \(\begin{cases}(x-2)(y-1)=30,\\2x-y=10;\end{cases}\) г) \(\begin{cases}\frac1x+\frac1y=\frac56,\\2y-x=1.\end{cases}\) Вариант 2: а) \(\begin{cases}x^2-2y=54,\\y=x-3;\end{cases}\) б) \(\begin{cases}4y+x=0,\\x^2+y^2=17;\end{cases}\) в) \(\begin{cases}(x-2)(y-1)=36,\\x-2y=6;\end{cases}\) г) \(\begin{cases}\frac1x-\frac1y=\frac12,\\2x-y=2.\end{cases}\)

Решения систем — координаты точек пересечения соответствующих графиков. Для вычисления этих точек подставим линейное уравнение в другое уравнение каждой системы.

Вариант 1

1. а) Подстановка \(y=x-1\) даёт \(x^2+2x-2=0\). Решения: \(\left(-1+\sqrt3; -2+\sqrt3\right)\) и \(\left(-1-\sqrt3; -2-\sqrt3\right)\).
2. б) Из \(x-2y=7\) получаем \(x=7+2y\). Тогда \(3y^2+28y+25=0\), откуда решения: \((5;-1)\) и \(\left(-\frac{29}{3};-\frac{25}{3}\right)\).
3. в) Из \(2x-y=10\) получаем \(y=2x-10\). Тогда \(2x^2-15x-8=0\), откуда решения: \((8;6)\) и \(\left(-\frac12;-11\right)\).
4. г) Из \(2y-x=1\) получаем \(x=2y-1\). После подстановки: \(10y^2-23y+6=0\). Решения: \((3;2)\) и \(\left(-\frac25;\frac3{10}\right)\). Обе пары допустимы: их координаты не равны нулю.

Вариант 2

1. а) Подстановка \(y=x-3\) даёт \(x^2-2x-48=0\). Решения: \((8;5)\) и \((-6;-9)\).
2. б) Из \(x=-4y\) и \(x^2+y^2=17\) получаем \(17y^2=17\). Решения: \((-4;1)\) и \((4;-1)\).
3. в) Из \(x-2y=6\) получаем \(x=6+2y\). Тогда \(y^2+y-20=0\). Решения: \((14;4)\) и \((-4;-5)\).
4. г) Из \(2x-y=2\) получаем \(y=2x-2\). Подстановка в первое уравнение приводит к \(x^2-2x+2=0\). Дискриминант равен \(-4\), поэтому действительных точек пересечения нет.

Ответ: координаты решений перечислены для каждого пункта; в варианте 2, пункте г), действительных решений нет.