Часть С. Запишите обоснованное решение задач 3-5. 3. Докажите, что если на рисунке углы C и D прямые и MD = KC, то ΔMKC = ΔDKM.

Доказательство:

Дано:

• Углы C и D прямые, т.е. ∠C = 90°, ∠D = 90°.
• MD = KC.

Доказать:

• ΔMKC = ΔDKM.

Доказательство:

1. Рассмотрим четырёхугольник MKCD. Углы C и D прямые.
2. Рассмотрим треугольники ΔMKC и ΔDKM.
3. Стороны:
• KC = MD (по условию).
• MK — общая сторона для обоих треугольников.
4. Углы:
• ∠MKC и ∠KMD.
5. Рассмотрим четырёхугольник MKCD.
• MC || KD, так как обе прямые перпендикулярны CD. (Это не следует из рисунка, поэтому будем исходить из того, что углы C и D прямые, что означает, что CD ⊥ MC и CD ⊥ KD).
• Если MC || KD, то CD ⊥ MC и CD ⊥ KD.
• Если MC || KD, то это трапеция.
• Углы C и D — прямые.
6. Рассмотрим прямоугольные треугольники ΔMCD и ΔKCD.
• CD — общая сторона.
• MD = KC (по условию).
• ∠D = ∠C = 90°.
• Следовательно, ΔMCD = ΔKCD по двум катетам (CD и MD; CD и KC).
• Из равенства треугольников следует, что MC = KD.
7. Теперь вернёмся к треугольникам ΔMKC и ΔDKM.
• MC = KD (доказано выше).
• MK — общая сторона.
• ∠MCK и ∠MDK.
8. Рассмотрим четырёхугольник MKCD.
• Так как ∠C = 90° и ∠D = 90°, то MC || KD.
• Следовательно, MKCD — прямоугольная трапеция.
• В прямоугольной трапеции боковые стороны MC и KD равны.
• MK — диагональ, CD — основание.
9. Докажем равенство треугольников ΔMKC и ΔDKM по трём сторонам.
• MC = KD (доказано).
• MK = MK (общая сторона).
• KC = MD (по условию).
• Следовательно, ΔMKC = ΔDKM по трём сторонам (третий признак равенства треугольников).

Ответ: Доказано.